Integralne transformacije predstavljaju veoma značajan matematički aparat koji se uspješšno koristi za rješšavanje vrlo raznovrsnih i brojnih problema u područjima primijenjene matematike, matematičke …fizike i inžinjerskih nauka. Klasične integralne transformacije su direktno ili indirektno vezane za analitičke funkcije i koriste se teorijom analitičkih funkcija.

Neka je f(t) funkcija-original, p = x + iy kompleksni parametar, a K(t,p) funkcija promjenljive t i parametra p. Promatrajmo integral koji je sam po sebi neka funkcija parametra p:

...(*)

Ako integral na desnoj strani u (*) postoji, tada se funkcija F(p) naziva slikom funkcije f(t), a sama operacija (*) prelaska od f(t) ka F(p) se naziva integralnom transformacijom. Često se sama funkcija F(p) naziva integralnom transformacijom. Oblik transformacije i njen karakter ovisi o izboru granica integriranja a i b, a također i o funkciji K(t,p), koja se naziva jezgrom transformacije. U ovisnosti o jezgru u praksi je uvedeno nekoliko različitih integralnih transformacija, kao ššto su: Fourierova, Laplaceova, Hankelova, Mellinova, Hilbertova, Stiltjesova, Legendreova, Jacobieva, Gegenbauerova, Laguerreova, Hermiteova, Radonova i malotalasna (wavelet).

Ako u (*) stavimo a = 0, , K(t,p) = 1, dobit ćemo:

...(**)

Operacija opisana jednakoššću (**), kad god integral (**) (koji je običan Rieman-nov integral) konvergira, naziva se Laplaceovom transformacijom. Nesvojstveni integral u formuli (**) se naziva Laplaceovim integralom (operatorom).

Izraz (**), dakle, ima smisla ako postoji nesvojstveni integral koji …figurira u tom izrazu. Zbog toga će nas zanimati uvjeti egzistencije neodređenog integrala (**). Zajedno s tim, ovi uvjeti određuju oblast egzistencije transformacije F(p).

Možete pogledati skraćni dio knjige: Laplaceova transformacija i primjena - Skraćeno